Question

已知椭圆C的中心点在原点，焦点M、N在x轴上，且焦距为2

3

，长轴长为4
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上是否存在一点Q，使得∠MQN为钝角？若存在，求出Q点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由焦距为2

3

，实轴长为4，能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）假设存在，设Q（x，y），由∠MQN为钝角，知

QM

•

QN

＜0，从而得到

QM

•

QN

=x2+y2-3＜0，与

x2

4

+y2=1联立，能求出Q点横坐标的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵且焦距为2

3

，长轴长为4，
∴a=2，c=

3

，b²=4-3=1，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）假设存在，设Q（x，y），
∵∠MQN为钝角，∴

QM

•

QN

＜0，
∵焦点M（-

3

，0）、N（

3

，0），
∴

QM

=(-

3

-x，-y)，

QN

=(

3

-x．-y)，
∴

QM

•

QN

=x2+y2-3＜0，
又∵Q点在椭圆上，∴

x2

4

+y2=1，
联立两式，得：x2+1-

x2

4

-3＜0，
化简，得x2＜

8

3

．
解得出Q点横坐标的取值范围是（-

2 6

3

，

2 6

3

）．
∴椭圆C上存在一点Q，使得∠MQN为钝角，Q点横坐标的取值范围是（-

2 6

3

，

2 6

3

）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足钝角的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量数量积的灵活运用．