Question

已知A，B分别为x轴，y轴上的两个动点，且|AB|=3，动点P满足

AP

=

1

2

PB

（1）求点P的轨迹E的方程；
（2）已知点M（1，0），直线y=kx+m（k≠0）与曲线E交于点C、D两个不同的点，以MC，MD为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y）由|AB|=3利用两点之间的距离公式可得得

x

2 0

+

y

2 0

=9，由

AP

=

1

2

PB

，解得

x0= 3 2 x y0=3y

，再利用“代点法”即可得出；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把直线的方程与椭圆的方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用菱形的性质和中点坐标公式即可得出．

解答： 解：（1）设A（x₀，0），B（0，y₀），P（x，y）
由|AB|=3得

x

2 0

+

y

2 0

=9，
∵

AP

=

1

2

PB

，解得

x0= 3 2 x y0=3y

，代入上述方程可得

x2

4

+y2=1．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，
由△＞0解得m²＜4k²+1．
∴x1+x2=-

8km

4k2+1

．
设线段CD中点为G(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)．
∵四边形是菱形，∴kMG=

y1+y2 2

x1+x2 2 -1

=-

1

k

，
代入化简得m=-

4k2+1

3k

，代入m²＜4k²+1
解得k＞

5

5

或k＜-

5

5

．
∴k的取值范围是(-∞，-

5

5

)∪(

5

5

，+∞)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题转化方程联立可得根与系数的关系、菱形的性质、中点坐标公式等基础知识基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．