Question

命题p：函数f（x）=ax³+ax²+x既有极大值又有极小值；命题q：抛物线x²=2ay（a≠0）的准线与圆C：（x-2）²+（y+2）²=1相交．
（1）若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,利用导数研究函数的极值,抛物线的简单性质

专题：常规题型,简易逻辑

分析：首先考虑p，q为真时的等价结论：函数f（x）=x³+ax²+ax-a既有极大值又有极小值说明导函数图象与x轴有两个不同的交点，即判别式＞0；又抛物线x²=2ay（a≠0）的准线与圆C：（x-2）²+（y+2）²=1相交即圆心C（2，-2）到抛物线x²=2ay，（a≠0）的准线：y=-

a

2

的距离小于1，再由真值表列出不等式组求出a的范围．

解答： 解：命题p真：函数f（x）既有极大值又有极小值，
即：f'（x）=0有两个不等的实根，
则f'（x）=3ax²+2ax+1=0有两个不等的实根，
∴

a≠0 △=4a2-12a＞0

则：a＞3或a＜0…（3分）
命题q真：圆心C（2，-2）到抛物线x²=2ay，（a≠0）的准线：y=-

a

2

的距离小于1，
即|-

a

2

+2|＜1
∴2＜a＜6
（1）若“p或q”为真命题，
∴p或q中有真命题，
∴a＞2或a＜0；
即：实数a的取值范围为（2，+∞）∪（-∞，0）…（9分）
（2）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则：p，q一真一假．
当p假q真时，有

0≤a≤3 2＜a＜6

即2＜a≤3；
当p真q假时，有

a＞3或a＜0 a≥6或a≤2

，解得：a＜0或a≥6．
∴实数a的取值范围为（-∞，0）∪（2，3]∪[6，+∞）…（12分）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，利用导数研究函数的极值，在确定命题p，q为真命题时，求参数a的取值范围，难度比较大，也容易出错．