Question

8．已知变量x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x+y≤3}\\{-1≤x-y≤1}\end{array}}$，若目标函数z=2x+y取到最大值a，则函数y=$\frac{{{x^2}+a}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 首先求出目标函数取最大值时的a值，然后代入函数解析式求最小值．

解答 解：由不等式组得到区域如图：所以目标函数的最大值为2×2+1=5，所以a=5；
函数y=$\frac{{{x^2}+a}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}+\sqrt{{x}^{2}+4}$，因为$\sqrt{{x}^{2}+4}≥2$，所以此函数为增函数，所以最小值为$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$；
故选D．

点评 本题考查了简单线性规划问题以及函数的最值；注意：本题容易利用基本不等式求函数的最小值，导致错误．