Question

18．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆⊙O交BC于点E，DF是⊙O的切线交BC于点F，且EC=3EF=3．
（Ⅰ）若E为BC的中点，BD=$\frac{7}{2}$，求DE的长；
（Ⅱ）求$\frac{DE}{DC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，进行求解即可，
（Ⅱ）根据切割线定理知DF²=FE•FC，以及△DFE∽△CFD建立方程关系进行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵E为BC的中点，
∴BE=3，BC=6，
由割线定理得BD•BA=BE•BC，
则$\frac{7}{2}$•BA=18，
解得BA=$\frac{36}{7}$，AD=$\frac{23}{14}$，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴DE=AD=$\frac{23}{14}$．
（Ⅱ）∵DF是圆O的切线，D为切点，FC为圆O的割线，
由切割线定理知DF²=FE•FC=FE•（FE+EC），
∵EC=3EF，
∴DF²=4FE²，
即DF=2FE，
由△DFE∽△CFD得$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{DF}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查与圆有关的比例线段的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意圆的性质和切割线定理的合理运用．