Question

13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是（　　）

• A． 8π
• B． 12π
• C． 16π
• D． 32π

Answer 1

分析 根据三视图得该几何体是：四棱锥且是长、宽、高为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、2的长方体一部分，画出几何体的直观图，根据长方体求出外接球的半径，代入球的表面积公式求解即可．

解答 解：根据三视图该几何体是：
四棱锥P-ABCD，且是长、宽、高为$\sqrt{2}$、$\sqrt{2}$、2的长方体一部分，
直观图如图所示：
∴该四棱锥与长方体的外接球相同，
设外接球O的半径是R，
则2R=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，得R=$\sqrt{2}$，
∴球O的表面积S=4πR²=8π，
故选：A．

点评 本题考查三视图求几何体外接球的表面积，以及球的表面积公式，结合三视图和对应的长方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．