Question

8．函数f（x）=log₂（x²+2x+a），g（x）=2^x，对于任意的实数x₁，总存在x₂，使得f（x₂）=g（x₁），实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞2
• B． a≤2
• C． a＞1
• D． a≤1

Answer 1

分析 分别求出f（x）和g（x）的值域，令g（x）的值域为f（x）的值域的子集列出不等式解出a．

解答 解：∵函数f（x）=log₂（x²+2x+a），g（x）=2^x，
∴当a＞1时，函数f（x）的值域为[log₂（a-1），+∞），
当a≤1时，函数f（x）的值域为R，
函数g（x）的值域为（0，+∞），
∵任意的实数x₁，总存在x₂，使得f（x₂）=g（x₁），
∴当a＞1时，（0，+∞）⊆[log₂（a-1），+∞），
∴log₂（a-1）≤0，
即0＜a-1≤1，
解得：1＜a≤2，
当a≤1时，满足条件，
综上所述，a≤2，
故选：B．

点评 本题考查了二次函数的值域，对数函数的单调性与值域，集合间的关系，分类讨论思想，属于中档题