Question

19．如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁B₁BA是正方形，AC=AB=1，△A₁BC为等边三角形，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$．
（1）求证：AC₁⊥BC；
（2）求二面角C-A₁C₁-B的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得A₁C=A₁B=$\sqrt{2}$，A₁A=AC=1，由此能证明A₁A⊥平面ABC，从而AC₁⊥BC．
（2）以A为原点，AC，AB，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-A₁C₁-B的余弦值．

解答 证明：（1）∵在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁B₁BA是正方形，
AC=AB=1，△A₁BC为等边三角形，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$．
∴BC=A₁C=A₁B=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，A₁A=AC=1，
∴A1A2+AC2=A1C2，
∴A₁A⊥AC，
又A₁A⊥AB，∴A₁A⊥平面ABC，
∵BC?面ABC，∴AC₁⊥BC．
解：（2）∵AC=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，∴AC²+AB²=BC²，∴AC⊥AB，
∵A₁A⊥平面ABC，∴以A为原点，AC，AB，AA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
C（1，0，0），B（0，1，0），A₁（0，0，1），C₁（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），
设平面A₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}C}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
设平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
设二面角C-A₁C₁-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
∴二面角C-A₁C₁-B的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查异面垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．