Question

7．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=$\frac{1}{2}$AD，E是线段AB的中点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C-DE-F的余弦值为$\frac{1}{4}$？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的性质可得AD⊥PE，利用等边三角形的性质可得：PE⊥AB．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．则PE是四棱锥P-ABCD的高．再利用三棱锥的体积计算公式即可得出；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．

解答 （1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．
 所以PE是四棱锥P-ABCD的高．
由DA=AB=2，$BC=\frac{1}{2}AD$，可得BC=1．
因为△PAB是等边三角形，可求得$PE=\sqrt{3}$．
所以${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（1+2）×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
（2）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
则A（0，1，0），E（0，0，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，$\sqrt{3}$）．
设$F（{x_0}，{y_0}，{z_0}），\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PB}$，
则$（{x_0}，{y_0}，{z_0}-\sqrt{3}）=λ（0，-1，-\sqrt{3}）$
$所以F（0，-λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面DEF的法向量，$\overrightarrow{ED}=（2，1，0），\overrightarrow{EF}=（0，-λ，\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）$，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{n}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=-λy+（\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）z=0}\end{array}\right.$
$所以\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\\ z=\frac{2λ}{{\sqrt{3}（λ-1）}}.\end{array}\right.$所以$\overrightarrow{n}=（1，-2，\frac{2λ}{\sqrt{3}（λ-1）}）$．
设平面CDE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
$所以\left|{\;}\right.cos\left?{\overline m，\overline n}\right＞\left.{\;}\right|=\frac{{\left|{\;}\right.\frac{2λ}{{\sqrt{3}（λ-1）}}\left.{\;}\right|}}{{\sqrt{1+4+{{[{\frac{2λ}{{\sqrt{3}（λ-1）}}}]}^2}}}}=\frac{1}{4}$．
化简得3λ²+2λ-1=0．
解得$λ=-1（舍）或λ=\frac{1}{3}$．
所以存在点F，且$PF=\frac{1}{3}PB$．

点评 本题主要考查三棱锥的体积计算公式、通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角公式求二面角等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．