Question

2．如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=3，AB=2，∠ABC=60°，点E为PC的中点，点F在PD上，且PF=2FD．
（Ⅰ）证明：BE∥平面AFC；
（Ⅱ）求二面角F-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立坐标系求出平面AFC的法向量，利用向量法即可证明：BE∥平面AFC；
（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角F-AC-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，平面ABCD内过A点垂直AD的直线为x轴，
建立如图所示空间直角坐标系．
由题意知相关各点的坐标分别为A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，-1，0），
C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，2，0），P（0，0，3）…（2分）
由点E为PC的中点，点F在PD上，且PF=2FD得：
E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），F（0，$\frac{4}{3}$，1）
所以 $\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{4}{3}$，1），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面AFC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{3}y+z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}\right.$，
令y=1取得平面AFC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，-$\frac{4}{3}$）．…（5分）
由$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，-$\frac{4}{3}$）．（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$-2=0，
则$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{BE}$
又BE?平面AFC，
所以BE∥平面AFC．…（8分）
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD知平面ACD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，3），
因为cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{-4}{\sqrt{\frac{1}{3}+1+\frac{16}{9}}•\sqrt{9}}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
由题中条件可知二面角F-AC-D为锐角，所以它的余弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．…（12分）
注：第一问用几何方法证明记（6分）．其他解法相应记分．

点评 本题主要考查线面平行的判断以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．