Question

10．如图，三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，PC⊥平面ABC，PC=AC，E为AC中点，EF⊥AP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AP⊥FB；
（Ⅱ）求二面角A-FC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结BE，推导出BE⊥AC，PC⊥BE，从而BE⊥AP，又∵EF⊥AP，从而AP⊥面BEF，由此能证明AP⊥FB．
（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EC}$的方向为x轴，y轴正方向，建立空间直角坐标系E-xyz．利用向量法能求出二面角A-FC-B的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结BE，由题意得BE⊥AC，又∵PC⊥平面ABC，
∴PC⊥BE，∴BE⊥面PAC，∴BE⊥AP，
又∵EF⊥AP，∴AP⊥面BEF，
∵FB?平面BEF，∴AP⊥FB．…（6分）
（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，分别以$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{EC}$的方向为x轴，y轴正方向，
建立空间直角坐标系E-xyz．
由题意得A（0，-1，0），$F（{0，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，$B（{\sqrt{3}，0，0}）$，C（0，1，0），
则$\overrightarrow{BC}=（{-\sqrt{3}，1，0}）$，$\overrightarrow{FB}$=（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$），
设平面FBC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{3}x+y=0\\ \sqrt{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$，
令$y=\sqrt{3}$，则x=1，$z=3\sqrt{3}$，于是$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，3\sqrt{3}$），
平面AFC的法向量为$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{EB}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{p}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{\sqrt{31}}{31}$，
∴二面角A-FC-B的平面角的余弦值是$\frac{{\sqrt{31}}}{31}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．