Question

18．已知函数$f（x）=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1（a∈R）$
（1）当$0＜a＜\frac{1}{2}$时，讨论f（x）的单调性
（2）设g（x）=x²-2bx+4．当$a=\frac{1}{4}$时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题等价于g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值$-\frac{1}{2}$，根据函数的单调性分别求出函数g（x）的最小值和f（x）的最小值，得到关于b的不等式，解出即可．

解答 解：（1）因为$f（x）=lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1$
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{a-1}{x^2}=-\frac{{a{x^2}-x+1-a}}{x^2}，x∈（0，+∞）$
令f′（x）=0，解得：x=1或$\frac{1}{a}$-1，-------------------（2分）
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{a}-1＞1＞0$，x∈（0，1）时，此时f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
$x∈（1，\frac{1}{a}-1）$时，此时f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
$x∈（\frac{1}{a}-1，+∞）$时，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减：-------------------（5分）
（2）因为$a=\frac{1}{4}∈（0，\frac{1}{2}）$，由（I）知，$\frac{1}{a}-1=3∉（0，2）$，
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以f（x）在（0，2）上的最小值为$f（1）=-\frac{1}{2}$
由于“对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，
使f（x₁）≥g（x₂）等价于g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值$-\frac{1}{2}$”（*）-------------------（8分）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]，
所以①当b＜1时，因为[g（x）]_min=g（1）=5-2b＞0此时与（*）矛盾，
②当1≤b≤2时，因为${[g（x）]_{min}}=4-{b^2}≥0$同样与（*）矛盾，
③当b＞2时，因为[g（x）]_min=g（2）=8-4b，
且当b＞2时，8-4b＜0，解不等式$8-4b≤-\frac{1}{2}$，可得$b≥\frac{17}{8}$-------------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．