Question

14．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{1+x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，1）时，判断f（x）与f（-x）的大小．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；（2）作差，构造函数g（x），通过讨论g（x）的单调性，求出g（x）≤0，从而比较出其大小即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{{xe}^{x}}{{（1+x）}^{2}}$，
当x＞0时，f′（x）＞0，当x＜0且x≠-1时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，-1），（-1，0）递减，在（0，+∞）递增；
（2）∵f（x）-f（-x）=$\frac{（1-x{）e}^{x}-（1+x{）e}^{-x}}{1{-x}^{2}}$，
设g（x）=（1-x）e^x-（1+x）e^-x=（1-x）e^x-$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{x（1{-e}^{2x}）}{{e}^{x}}$，
∵当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1）递减，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴f（x）-f（-x）≤0，
即f（x）≤f（-x），（当且仅当x=0时“=”成立）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．