Question

19．在一次解题比赛中，甲、乙两组各四名同学答对题目数如茎叶图所示．
（1）当X=8，求乙组同学答对题目数的平均数和方差；
（2）当X=9，用抽签的方法分别从甲、乙两组各选取一名同学，若这两名同学答对题目数的和为Y，求Y的分布列和数学期望．
（注：方差s²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，其中$\overline{x}$为x₁，x₂，…，x_n的平均数）

Answer 1

分析 （1）当X=8时，由茎叶图知乙组同学答对题目数为8，8，9，10，由此能求出乙组同学答对题目数的平均数和方差．
（2）当X=9时，由茎呀图知甲组同学答对题目数为9，9，11，11，乙组同学答对题目数为9，8，9，10，分别从甲、乙两组各选一名学生，基本事件总数n=${C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}$，这两名同学答对题目数的和为Y，则Y的可能取值为17，18，19，20，21，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和数学期望．

解答 解：（1）当X=8时，由茎叶图知乙组同学答对题目数为8，8，9，10，
∴乙组同学答对题目数的平均数$\overline{x}$=$\frac{8+8+9+10}{4}$=$\frac{35}{4}$，
乙组同学答对题目数的方差S²=$\frac{1}{4}$[（8-$\frac{35}{4}$）²+（8-$\frac{35}{4}$）²+（9-$\frac{35}{4}$）²+（10-$\frac{35}{4}$）²]=$\frac{11}{16}$．
（2）当X=9时，由茎呀图知甲组同学答对题目数为9，9，11，11，乙组同学答对题目数为9，8，9，10，
分别从甲、乙两组各选一名学生，基本事件总数n=${C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}$=16，
这两名同学答对题目数的和为Y，则Y的可能取值为17，18，19，20，21，
P（X=17）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{2}{16}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=18）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=19）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}+{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=20）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{2}^{1}}{16}$=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=21）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{1}^{1}}{16}$=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为：

X	17	18	19	20	21
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

EX=$17×\frac{1}{8}+18×\frac{1}{4}+19×\frac{1}{4}+20×\frac{1}{4}+21×\frac{1}{8}$=19．

点评 本题考查平均数和方差的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．