Question

17．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，四边形CC₁D₁D为矩形，已知AB⊥BC₁，AD=4，AB=2，BC=1．
（1）求证：BC₁∥平面ADD₁；
（2）若DD₁=2，求平面AC₁D₁与平面ADD₁所成的锐二面角的余弦值；
（3）设P为线段C₁D上的一个动点（端点除外），判断直线BC₁与直线CP能否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）推导出CC₁∥DD₁，从而CC₁∥平面ADD₁，同理BC∥ADD₁，进而平面BCC₁∥平面ADD₁，由此能证明BC₁∥平面ADD₁．
（2）推导出AB⊥BC，AB⊥CC₁，从而CC₁⊥平面ABCD，进而DD₁⊥平面ABCD，以D为原点，DA，DM，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AC₁D₁与平面ADD₁所成的锐二面角的余弦值．
（3）设DD₁=m，（m＞0），$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{D{C}_{1}}$，λ∈（0，1），由BC₁⊥CP，得λ＞1，与0＜λ＜1矛盾，从而直线BC₁与CP不可能垂直．

解答 证明：（1）∵CC₁D₁D为矩形，∴CC₁∥DD₁，
又∵DD₁?平面ADD₁，CC₁?平面ADD₁，
∴CC₁∥平面ADD₁，同理BC∥ADD₁，
又∵BC∩CC₁=C，∴平面BCC₁∥平面ADD₁，
又∵BC₁?平面BCC₁，∴BC₁∥平面ADD₁．
解：（2）∵平面ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BC₁，BC∩BC₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁，∴AB⊥CC₁，
又∵四边形CC₁D₁D为矩形，且底面ABCD中AB与CD相交于一点，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∵CC₁∥DD₁，∴DD₁⊥平面ABCD，
过D在底面ABCD中作DM⊥AD，∴DA，DM，DD₁两两垂直，
以D为原点，DA，DM，DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），C（3，2，0），C₁（3，2，2），D₁（0，0，2），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（-1，2，2），\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-4，0，2），
设平面AC₁D₁的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0，\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y+2z=0}\\{-4x+2z=0}\end{array}\right.$，
取x=2，得$\overrightarrow{m}=（2，-3，4）$，
平面ADD₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{3\sqrt{29}}{29}$，
∴平面AC₁D₁与平面ADD₁所成的锐二面角的余弦值为$\frac{3\sqrt{29}}{29}$．
（3）直线BC₁与直线CP不可能垂直．理由如下：
设DD₁=m，（m＞0），$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{D{C}_{1}}$，λ∈（0，1），
由B（4，2，0），C（3，2，0），D（0，0，0），
得$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-1，0，m），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（3，2，m），$\overrightarrow{DP}=λ\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（3λ，2λ，λm），$\overrightarrow{CD}$=（-3，-2，0），
$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DP}$=（3λ-3，2λ-2，λm），
若BC₁⊥CP，则$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{CP}$=-（3λ-3）+λm²=0，
即（m²-3）λ=-3，
∵λ≠0，
∴${m}^{2}=-\frac{3}{λ}+3＞0$，解得λ＞1，与0＜λ＜1矛盾，
∴直线BC₁与CP不可能垂直．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．