Question

8．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AD⊥A₁B，垂足为D．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）若$AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，AB=BC=1，P为AC的中点，求二面角P-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁A⊥BC，AD⊥BC．AD⊥A₁B，由此能证明AD⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）以B为原点，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{B{B_1}}$所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能求出平面PA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴A₁A⊥平面ABC，又BC?平面ABC，
∴A₁A⊥BC，…（2分）
AB∩AA₁=A，又AB⊥BC∴BC⊥面ABA₁，…（4分）
又AD?面ABA₁又AD⊥BC．AD⊥A₁B，A₁B∩BC=B，
∴AD⊥平面A₁BC． …（5分）
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，如图，以B为原点，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{B{B_1}}$所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
正向与向量同向建立空间直角坐标系B-xyz…（6分）
$A（0，1，0），B（0，0，0），C（1，0，0），{A_1}（0，1，\sqrt{3}），P（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，
则${\overrightarrow{BA}_1}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BP}=（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$…（7分），
设平面PA₁B的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（x，y，z）$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n{\;}_1}•\overrightarrow{BP}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{B{A_1}}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\\ y+\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n_1}=（3，-3，\sqrt{3}）$…（8分）
∵$AD⊥平面{A_1}BC，则\overrightarrow{AD}即为平面{A_1}BC的法向量$…（9分）
在Rt△ABD中，$AD=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，AB=1$，则$BD=\frac{1}{2}$…（10分）
可得$D（0，\frac{1}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$，$\overrightarrow{AD}=（0，-\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$，…（11分）
所以$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{AD}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AD}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{AD}}|}}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
∴平面PA₁B与平面A₁BC的夹角的余弦值是$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．