Question

3．已知定义域为R的奇函数f（x）的导函数f′（x），当x≠0时，f′（x）-$\frac{f（x）}{x}＞0$，若a=$\frac{f（cos3）}{cos3}$，b=-$\frac{f（-2016）}{2016}$，c=（log₃e）f（ln3），则下列关于a、b、c的大小关系正确的是（　　）

• A． b＞c＞a
• B． a＞c＞b
• C． c＞b＞a
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，判断函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小即可．

解答 解：∵当x≠0时，f′（x）-$\frac{f（x）}{x}$＞0，
∴x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0，x＜0时，xf′（x）-f（x）＜0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减，
若a=$\frac{f（cos3）}{cos3}$，b=-$\frac{f（-2016）}{2016}$，c=（log₃e）f（ln3），
则a=g（cos3），b=g（-2016），c=g（ln3）=g（-ln3），
而-2016＜-ln3＜cos3，
∴b＞c＞a，
故选：A．

点评 本题考查了函的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是解题的关键，本题是一道中档题．