Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AB∥DC．已知AD=DC=PA=1，AB=2．
（Ⅰ） 求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ） 设M为PB上的点，且PM=$\frac{1}{3}$PB，求证：PD∥平面ACM；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，求二面角P-AC-M的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ） 求出平面ACM的法向量和$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-1），由此利用向量法能证明PD∥平面ACM．
（Ⅲ） 求出平面ACP的法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角P-AC-M的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
依题意可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
∵$\overrightarrow{AD}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{DC}$=0，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DC}$=0．
∵AD∩AP=A，∴DC⊥平面PAD．
∵DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）∵PM=$\frac{1}{3}$PB，∴M点的坐标为（0，$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{CM}$=（-1，-$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
设平面ACM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\\{-x-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∵$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-1），∴$\overrightarrow{PD}$$•\overrightarrow{n}$=0，即$\overrightarrow{PD}⊥\overrightarrow{n}$．
∵PD?平面ACM，
∴PD∥平面ACM．
解：（Ⅲ） 设平面ACP的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
∵$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），
则有$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0，\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，
令a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0）．
由（Ⅱ）可知平面ACM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
即二面角P-AC-M的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．