Question

【题目】如下图,是长方形，平面平面，且是的中点.

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求三棱锥的体积；

（Ⅲ）若点是线段上的一点，且平面平面,求线段的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）24；（Ⅲ）3.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由平面平面，得到平面，即，又因为，进而证明平面；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知道就是三棱锥的高，又因为，所以；（Ⅲ）根据平面，过做的平行线交与点，则有平面,进而可以得到平面平面，确定线段的长度，所以在平面内作交于点.

试题解析：（Ⅰ）证明：平面平面，平面平面平面，

平面，又平面，

.

又是的中点，

，又平面平面

平面.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面.

在中，，

又

（Ⅲ）证明：在平面内作交于点.

平面平面，平面平面，

平面，又平面.

.

与共面，设该平面为，

是长方形，，

又平面平面，

平面，又平面，

，又，

四边形是平行四方形.

.

，

，又是的中点.

，

.