Question

已知函数f（x）=x²-7x+6lnx．
（I）求f（x）的图象在点处（1，-6）的切线方程；
（II）求f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析：（1）欲求在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先求出函数的定义域，求出导函数，令导函数小于0以及导数大于0，求出x的范围，写出区间即为单调区间．

解答：解：（I）∵f′(x)=2x-7+

6

x

∴k=f^′（1）=2-7+6=1
所以切线方程为y+6=x-1，即x-y-7=0
（II）由于f′(x)=2x-7+

6

x

，令f′（x）=0，得x=

3

2

或x=2

x	(0， 3 2 )	3 2	( 3 2 ，2)	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

所以f（x）的单调增区间是：(0，

3

2

)，（2，+∞）；单调增区间是：(

3

2

，2)
极大值为f(

3

2

)=-

33

4

+6ln

3

2

，极小值为f（2）=-10+6ln2．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．