Question

5．若存在实数a，b，对任意实数x∈[0，4]，使不等式$\sqrt{x}$-m≤ax+b≤$\sqrt{x}$+m恒成立，则m的取值范围为（　　）

• A． m≥1
• B． m≤1
• C． m≤$\frac{1}{4}$
• D． m≥$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 不等式$\sqrt{x}$-m≤ax+b≤$\sqrt{x}$+m可化为不等式|ax+b-$\sqrt{x}$|≤m，等价于任意实数a，b，垂直x∈[0，4]，使不等式|-ax-b+$\sqrt{x}$|＞m，分情况讨论a，即可解决．

解答 解：不等式$\sqrt{x}$-m≤ax+b≤$\sqrt{x}$+m可化为不等式|ax+b-$\sqrt{x}$|≤m，
等价于任意实数a，b，存在x∈[0，4]，使不等式|-ax-b+$\sqrt{x}$|＞m，
令y=-ax-b+$\sqrt{x}$，则y′=-a+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
在x∈[0，4]上，当y′≥0，即a≤$\frac{1}{4}$时，单调递增，
此时-b≤y≤-4a-b+2，
当b≤1-2a时，|y|_max=-4a-b+2，当b＞1-2a时，|y|_max=b，
从而当a≤$\frac{1}{4}$时，b=1-2a时|y|取最大值，|y|_max=1-2a≥$\frac{1}{2}$，
当a＞$\frac{1}{4}$时，y在[0，$\frac{1}{4{a}^{2}}$）上单调递增，在[$\frac{1}{4{a}^{2}}$，4]上单调递减，
在a∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，-b≤y≤-b+$\frac{1}{4a}$，当b=$\frac{1}{8a}$时，（|y|_max）_min=$\frac{1}{8a}$≥$\frac{1}{4}$，
在a∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，-4a-b-2≤y≤-b+$\frac{1}{4a}$，当b=1-2a+$\frac{1}{8a}$时，（|y|_max）_min=2a+$\frac{1}{8a}$-1＞$\frac{1}{4}$，
综上所述，（|y|_max）_min=$\frac{1}{4}$，
∴m≤$\frac{1}{4}$，
故选C．

点评 本题考查函数的单调性，最值与导数的关系，和存在性问题的转化，属于压轴题，难题．