Question

16．如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l₁、l₂两侧，且P到l₁，l₂的距离分别为1，3，点M，N分别在l₁，l₂上，|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=8，则$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最大值为（　　）

• A． 15
• B． 12
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 建立适当的坐标系，利用坐标表示向量$\overrightarrow{PM}$、$\overrightarrow{PN}$，根据|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=8求出$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的解析式，再求其最大值．

解答 解：由点P位于两平行直线l₁，l₂的同侧，且A到l₁，l₂的距离分别为1，3，
可得平行线l₁、l₂间的距离为2；
以直线l₂为x轴，以过点P且与直线l₂垂直的直线为y轴，
建立坐标系，如图所示：
由题意可得点P（0，-1），直线l₁的方程为y=2，
设点M（a，0）、点N（b，2），
∴$\overrightarrow{PM}$=（a，1）、$\overrightarrow{PN}$=（b，3），
∴$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$=（a+b，4）；
∵|$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$|=8，
∴（a+b）²+16=64，
∴a+b=4$\sqrt{3}$，或a+b=-4$\sqrt{3}$；
当a+b=4$\sqrt{3}$时，$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=ab+3=a（4$\sqrt{3}$-a）+3=-a²+4$\sqrt{3}$a+3，
它的最大值为-${（2\sqrt{3}）}^{2}$+4$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$+3=15；
当a+b=-3时，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=ab+3=a（-4$\sqrt{3}$-a）+3=-a²-4$\sqrt{3}$a+3，
它的最大值为-${（-2\sqrt{3}）}^{2}$-4$\sqrt{3}$×（-2$\sqrt{3}$）+3=15；
综上可得，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最大值为15．
故选：A．

点评 本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，是综合题．