Question

6．已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A，D分别在x，y的正半轴上（含原点O）滑动，则|$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$|的最大值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 可画出图形，并设$∠OAD=θ（0≤θ≤\frac{π}{2}）$，这样便可求出点B，C的坐标，进而得出向量$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$的坐标，从而求出$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$的坐标，这样即可求得$|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{5+4sin2θ}$，从而可得出该最大值．

解答 解：如图，令∠OAD=θ，$（0≤θ≤\frac{π}{2}）$，由于AD=1，
故0A=cosθ，OD=sinθ；
∴$B（cosθ+cos（\frac{π}{2}-θ），sin（\frac{π}{2}-θ））$，
C（sinθ，sinθ+cosθ）；
∴$\overrightarrow{OB}=（cosθ+sinθ，cosθ）$，$\overrightarrow{OC}=（sinθ，sinθ+cosθ）$；
∴$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=（2sinθ+cosθ，sinθ+2cosθ）$；
∴$|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|=\sqrt{（2sinθ+cosθ）^{2}+（sinθ+2cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{5+4sin2θ}$；
∴$2θ=\frac{π}{2}$时，$|\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|$的最大值为3．
故选C．

点评 考查通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，向量坐标的加法运算，根据向量坐标可求向量的长度．