Question

16．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-alnx-$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）＞e-a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞1时，f（x）＞e-a，求导数，分类讨论，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，f（1）=e-1，f′（1）=0，
∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=e-1；
（2）f′（x）=$\frac{（{e}^{x}-1）（x-a）}{{x}^{2}}$，
a≤1，函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）＞e-a，∴f（x）＞f（1）=e-a，成立；
a＞1时，函数在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，x=a时，函数取得最小值，
∵f（x）＞e-a，∴$\frac{{e}^{a}}{a}-alna-1＞e-a$，不成立，
综上所述，a≤1．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．