Question

5．已知动圆P过点A（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．
（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上两个动点，其中x₁≠x₂，且x₁+x₂=4，线段AB的垂直平分线l与x轴相交于点Q，求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则由垂径定理能求出曲线C的方程．
（2）设直线AB：y=kx+m（k≠0），联立方程y²=4x，得ky²-4y+4m=0，由此利用根的判别式、韦达定理、线段中点坐标坐标公式、弦长公式，由此能求出△ABQ的面积的最大值为8，此时直线AB的方程为y=±x．

解答 解：（1）设P（x，y），则由垂径定理得$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}=\sqrt{{{|x|}^2}+{2^2}}$，
化简得y²=4x，
所以曲线C的方程是：y²=4x．  …（4分）
（2）依题意可知直线AB的斜率存在且不为零，
所以设直线AB：y=kx+m（k≠0），
并联立方程y²=4x消x得ky²-4y+4m=0，
因为△＞0⇒mk＜1①，且${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，②${y_1}{y_2}=\frac{4m}{k}$，③，
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=4k+2m=$\frac{4}{k}$，由此得$m=\frac{2}{k}-2k$④，
把④代入①得${k^2}＞\frac{1}{2}$⑥…（6分）
设线段AB的中点为M，则M（2，$\frac{2}{k}）$，则直线l：$y=-\frac{1}{k}（x-2）+\frac{2}{k}$，
令y=0⇒x=4⇒Q（4，0），…（8分）
设直线AB与x轴相交于点D，则$D（-\frac{m}{k}$，0），
所以${S_{△ABQ}}=\frac{1}{2}|{4+\frac{m}{k}}||{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|{4+\frac{m}{k}}|\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$⑤
把②③④代入⑤化简得S_△ABQ=$4（1+\frac{1}{k^2}）\sqrt{2-\frac{1}{k^2}}$，…（10分）
设$\sqrt{2-\frac{1}{k^2}}$=t，由⑥知 t＞0，且 $\frac{1}{k^2}=2-{t^2}$，
S_△ABQ=12t-4t³，令f（t）=12t-4t³，f'（t）=12-12t²=12（1-t）（1+t），
当0＜t＜1时，f'（t）＞0，当t＞1时，f'（t）＜0，所以当t=1时，此时k=±1，
函数f（t）的最大值为f（1）=8，因此△ABQ的面积的最大值为8，
此时直线AB的方程为y=±x． …（12分）

点评 本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线方程的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、整体思想，是中档题．