Question

20．等边三角形ABC中，AB=2，E，F分别是边AB，AC上运动，若$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{1}{3}$，则EF长度的最小值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 利用正弦定理、三角形的面积公式求得AE•AF=$\frac{4}{3}$，再利用余弦定理、基本不等式，求得EF长度的最小值．

解答 解：等边三角形ABC中，若$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{1}{3}$=$\frac{\frac{1}{2}•AE•AF•sin∠A}{\frac{1}{2}•AB•AC•sin∠A}$=$\frac{AE•AF}{2•2}$，∴AE•AF=$\frac{4}{3}$．
由余弦定理可得EF²=AE²+AF²-2AE•AF•cos60°=AE²+AF²-AE•AF≥2AE•AF-AE•AF=AE•AF=$\frac{4}{3}$，
即EF²≥$\frac{4}{3}$，∴EF≥$\sqrt{\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，当且仅当AE=AF时，取等号，故EF长度的最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用、三角形的面积公式、基本不等式的应用，属于基础题．