Question

1．已知函数f（x）=ax²+1（a＞0），g（x）=x³+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（2）当a²=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；
（2）根据a²=4b，构建函数$h（x）=f（x）+g（x）={x^3}+a{x^2}+\frac{1}{4}{a^2}x+1$，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（-∞，-1）上的最大值．

解答 解：（1）由（1，c）公共切点可得：f（x）=ax²+1（a＞0），
则f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，
则g'（x）=3x²+b，k₂=3+b，∴2a=3+b①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=3\end{array}\right.$．
（2）∵a²=4b，∴设$h（x）=f（x）+g（x）={x^3}+a{x^2}+\frac{1}{4}{a^2}x+1$
则$h'（x）=3{x^2}+2ax+\frac{1}{4}{a^2}$，
令h'（x）=0，解得：${x_1}=-\frac{a}{2}$，${x_2}=-\frac{a}{6}$；
∵a＞0，∴$-\frac{a}{2}＜-\frac{a}{6}$，
∴原函数在$（{-∞\;，\;\;-\frac{a}{2}}）$单调递增，在$（{-\frac{a}{2}\;，\;\;-\frac{a}{6}}）$单调递减，在$（{-\frac{a}{6}\;，\;\;+∞}）$上单调递增
①若$-1≤-\frac{a}{2}$，即a≤2时，最大值为$h（1）=a-\frac{a^2}{4}$；
②若$-\frac{a}{2}＜-1＜-\frac{a}{6}$，即2＜a＜6时，最大值为$h（{-\frac{a}{2}}）=1$
③若$-1≥-\frac{a}{6}$时，即a≥6时，最大值为$h（{-\frac{a}{2}}）=1$．
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为$h（1）=a-\frac{a^2}{4}$；当a∈（2，+∞）时，最大值为$h（{-\frac{a}{2}}）=1$．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．