Question

12．设数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N₊）均在函数y=3x+2的图象上．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）设T_n是数列{$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，求使${T_n}＜\frac{m}{20}$对所有n∈N₊都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）利用点在直线上，推出S_n=3n²-2n，通过a_n=S_n-S_n-1，求出a_n=6n-5（n∈N₊）．利用等差数列的定义判断{a_n}是一个以1为首项，6为公差的等差数列．
（2）化简数列的通项公式，$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），然后求和，利用不等式，求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）依题意，$\frac{Sn}{n}$=3n-2，即S_n=3n²-2n，…（1分）
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]
=6n-5．…（3分）
当n=1时，a₁=S₁=1符合上式，…（4分）
所以a_n=6n-5（n∈N₊）．…（5分）
又∵a_n-a_n-1=6n-5-[6（n-1）-5]=6，
∴{a_n}是一个以1为首项，6为公差的等差数列．…（6分）
（2）由（1）知，
$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n+1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），…（8分）
故T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$），…（10分）
因此使得$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{20}$（n∈N₊）成立的m必须且仅需满足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{20}$，
即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10．…（12分）

点评 本题考查数列与函数相结合，数列通项公式以及数列求和，数列与不等式的关系，考查转化思想以及计算能力．