Question

4．已知函数f（x）=4x²-kx-8，x∈[5，20]
（Ⅰ）若函数f（x）在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在[5，20]上恒大于零，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得：$\frac{k}{8}≤5$，或$\frac{k}{8}≥20$，即可求出k的范围；
（Ⅱ）由已知可得：4x²-kx-8＞0，即：$k＜4x-\frac{8}{x}$对x∈[5，20]恒成立，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：$\frac{k}{8}≤5$，或$\frac{k}{8}≥20$，解得：k≤40或k≥160
故实数k的取值范围是（-∞，40]∪[160，+∞）
（Ⅱ）由已知可得：4x²-kx-8＞0，即：$k＜4x-\frac{8}{x}$对x∈[5，20]恒成立
令$g（x）=4x-\frac{8}{x}$，易见$g（x）=4x-\frac{8}{x}$在[5，20]上为增函数，
∴$g{（x）_{min}}=g（5）=4×5-\frac{8}{5}=\frac{92}{5}$，
故实数k的取值范围是$（-∞，\frac{92}{5}）$．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质，正确分离参数是关键，属于中档题．