Question

14．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0），设h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求h（x）的单调区间；
（2）若在y=h（x）在x∈（0，3]的图象上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≥$\frac{1}{2}$成立，求实数a的最大值；
（3）是否存在实数m，使得函数y=g（$\frac{2a}{{x}^{2}+1}$）+m-1的图象于y=f（x²+1）的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于h′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，由h′（x）＞0，可求其单调增区间，h′（x）＜0可求其单调减区间；
（2）依题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率$h′（{x}_{0}）=\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$$≥\frac{1}{2}$，即a≤$-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$+x₀，求得$-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$+x₀的最大值即可；
（3）先根据条件把问题转化为m=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$有四个不同的根；求出其导函数，找到其极值点，根据极值即可得到结论．

解答 解：（1）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，定义域为（0，+∞），h′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
于是，当x＞a时，h’（x）＞0，h（x）为增函数，
当0＜x＜a时，h’（x）＜0，h（x）为减函数
所以h（x）的单调增区间是（a，+∞），单调减区间是（0，a）
（2）因为$h′（{x}_{0}）=\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$=k，
所以在区间x∈（0，3]上存在一点P（x₀，y₀），使得以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率，
$h′（{x}_{0}）=\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$$≥\frac{1}{2}$，即a≤$-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$+x₀，
因为$-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$+x₀=$-\frac{1}{2}（{x}_{0}-1）^{2}$+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
于是a≤$\frac{1}{2}$，a的最大值为$\frac{1}{2}$．
（3）y=g（$\frac{2a}{{x}^{2}+1}$）+m-1=$\frac{1}{2}$x²+m-$\frac{1}{2}$的图象与函数y=f（1+x²）=ln（1+x²）的图象恰有四个不同的交点，
即$\frac{1}{2}$x²+m-$\frac{1}{2}$=ln（1+x²）有四个不同的根，亦即m=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$有四个不同的根；
令G（x）=ln（1+x²）-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$，
则G'（x）=$\frac{-x（x+1）（x-1）}{{x}^{2}+1}$
当x变化时，G'（x），G（x）的变化情况如下表，

x	（-∞，-1）	（-1，0）	（0，1）	（1，+∞）
G′（x）	+	-	+	-
G（x）	↑	↓	↑	↓

由表格知，G（x）的极小值G（0）=-$\frac{1}{2}$，G（x）的极大值G（1）=G（-1）=ln2＞0．
∴m∈（$\frac{1}{2}$，ln2），y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点，
即当m∈（$\frac{1}{2}$，ln2）时，函数y=g（$\frac{2a}{{x}^{2}+1}$）+m-1的图象与函数y=f（1+x²）的图象恰有四个不同的交点．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数的几何意义研究曲线上某点切线方程，考查分析问题与等价转化解决问题的能力，属于中档题．