Question

15．某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项措施来获得更大的收益．通过市场的预测发现，当对两项投入都不大于3百万元时，每投入x百万元广告费，增加的销售额可近似的用函数${y_1}=-2{x^2}+14x$（百万元）来计算；每投入x百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用函数${y_2}=-\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}+5x$（百万元）来计算．如果现在该公司共投入3百万元，分别用于广告投入和技术改造投入，那么预测该公司可增加的最大收益为$21+2\sqrt{3}$百万元．（注：收益=销售额-投入）

Answer 1

分析 先计算投入带来的销售额增加值，再利用导数法，即可确定函数的最值．

解答 解：设3百万元中技术改造投入为x（百万元），广告费投入为3-x（百万元），则广告收入带来的销售额增加值为-2（3-x）²+14（3-x）（百万元），技术改造投入带来的销售额增加值为-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百万元），
所以，投入带来的销售额增加值F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x．
整理上式得F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+3x+24，
因为F′（x）=-x²+3，令F′（x）=0，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
当x∈[0，$\sqrt{3}$），F′（x）＞0，当x∈（$\sqrt{3}$，3]时，F′（x）＜0，
所以，x=$\sqrt{3}$时，F（x）取得最大值$21+2\sqrt{3}$百万元，
故答案为$21+2\sqrt{3}$．

点评 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．