Question

6．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=1．

Answer 1

分析 由题意可得|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=2，且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角∠BAD=60°，用$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$作基底表示要求的向量，由数量积的运算可得．

解答 解：由题意可得|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=2，且$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角∠BAD=60°，
由向量的运算可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=${\overrightarrow{AD}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$
=2²-$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$×2²=1
故答案为：1

点评 本题考查平面向量的数量积，涉及平面向量基本定理，属基础题．