Question

11．已知a为非零常实数，e为自然对数的底数，函数f（x）=$\frac{x-2a}{ax+{a}^{2}}$的图象的对称中心为点P，函数g（x）=f（e^x）．（1）若a＞0，当x∈[3，4]时，不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$恒成立，求a的取值范围；
（2）如果点P在第四象限，当P到坐标原点的距离最小时，是否存在实数x₁，x₂满足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3？请说明理由；
（3）对任意n∈R，函数g（x）在区间[n，n+2]上恒有意义，且在区间[n，n+2]上的最大值、最小值分别记为M（n），m（n），当且仅当n=-1时，M（n）-m（n）取得最大值，求a的值．

Answer 1

分析 （1）将f（x）变形，可得f（x）在[3，4]递增，求得最小值，再由不等式恒成立思想，可得a的范围；
（2）求得对称中心为P（-a，$\frac{1}{a}$），由两点距离和基本不等式可得a=-1，假设存在实数x₁，x₂满足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3，化简整理，由指数函数的单调性，即可得到矛盾；
（3）判断g（x）在[n，n+2]递增，求得最大值、最小值，作差，化简变形，运用变量分离，再由基本不等式，结合等号成立的条件，可得a=±1时，取得最大值．

解答 解：（1）由a＞0，f（x）=$\frac{x-2a}{ax+{a}^{2}}$=$\frac{1}{a}$（1+$\frac{-3a}{x+a}$）
在[3，4]上递增，即有f（x）的最小值为f（3）=$\frac{3-2a}{3a+{a}^{2}}$，
当x∈[3，4]时，不等式f（x）＞$\frac{1}{4}$恒成立，即有
f（x）_min＞$\frac{1}{4}$，即为$\frac{3-2a}{3a+{a}^{2}}$＞$\frac{1}{4}$，
即有a²+11a-12＜0，
解得-12＜a＜1，
由a＞0可得0＜a＜1；
（2）函数f（x）=$\frac{x-2a}{ax+{a}^{2}}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{x+a}$的对称中心为P（-a，$\frac{1}{a}$），
由题意可得a＜0，|PO|=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$（当且仅当a=-1时取得最小值），
则f（x）=$\frac{x+2}{-x+1}$，
假设存在实数x₁，x₂满足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3，
即有f（${e}^{{x}_{1}}$）-f（${e}^{{x}_{2}}$）=3，即为$\frac{-3}{{e}^{{x}_{1}}-1}$+$\frac{3}{{e}^{{x}_{2}}-1}$=3，
即为${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${e}^{{x}_{1}}$-1，①
由x₁＜0，可得${e}^{{x}_{1}}$-1＜0，而${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0，
①式不成立，故不存在实数x₁，x₂满足x₁＜0＜x₂，g（x₁）-g（x₂）=3；
（3）g（x）=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{a+{e}^{x}}$在[n，n+2]上递增，
则M（n）=g（n+2）=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{a+{e}^{n+2}}$，m（n）=$\frac{1}{a}$+$\frac{-3}{a+{e}^{n}}$，
M（n）-m（n）=$\frac{-3}{a+{e}^{n+2}}$-$\frac{-3}{a+{e}^{n}}$=3（$\frac{1}{a+{e}^{n}}$-$\frac{1}{a+{e}^{n+2}}$）
=3•$\frac{{e}^{n+2}-{e}^{n}}{（a+{e}^{n}）（a+{e}^{n+2}）}$=3•$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{n+2}+\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}+a（{e}^{2}+1）}$
由eⁿ⁺²+$\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}$≥2$\sqrt{{e}^{n+2}•\frac{{a}^{2}}{{e}^{n}}}$=2e|a|．
当且仅当n=-1，即e=ea²，即有a=±1，取得等号．
即有n=-1，a=±1时，M（n）-m（n）取得最大值2e．

点评 本题考查函数的单调性和对称性及运用，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．