Question

18．已知函数y=x²-2x+5，求函数在区间[m，3]上的值域．

Answer 1

分析 先求二次函数y=x²-2x+5的对称轴为x=1，可设y=f（x），显然有f（-1）=f（3），从而讨论m与-1，与1的关系：m＜-1，-1≤m≤1，以及1＜m＜3，根据二次函数f（x）的取得顶点情况，及f（x）的单调性即可得出每种情况下f（x）的值域．

解答 解：函数y=x²-2x+5的对称轴为x=1，设y=f（x）；
∴①若m＜-1，f（x）的最小值为f（1）=4，f（m）=m²-2m+5＞f（3）；
∴此时函数f（x）的值域为[4，m²-2m+5]；
②若-1≤m≤1，则f（x）的最小值为f（1）=4，f（3）=8≥f（m）；
∴此时函数f（x）的值域为[4，8]；
③若1＜m＜3，则f（x）在[m，3]上单调递增；
∴此时f（x）的值域为[f（m），f（3）]=[m²-2m+5，8]．

点评 考查函数值域的概念，二次函数的对称轴，以及根据二次函数取得顶点的情况及二次函数的单调性求函数的值域，注意对m的讨论要全面．