Question

已知函数f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1(x∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)=

1

2

，b，a，c成等差数列，且

AB

•

AC

=9，求a的值．

Answer 1

分析：（I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+

π

6

），由2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间．
（II）在△ABC中，由f(A)=

1

2

，可得sin（2A+

π

6

） 值，可求得A，用余弦定理求得a 值．

解答：解：（I）f（x）=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
令  2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，可得   kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
即f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（II）在△ABC中，由f(A)=

1

2

，可得sin（2A+

π

6

）=

1

2

，∵

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴＜2A+

π

6

=

π

6

 或

5π

6

，∴A=

π

3

 （或A=0 舍去）．
∵b，a，c成等差数列可得 2b=a+c，∵

AB

•

AC

=9，∴bccosA=9．
由余弦定理可得 a²=b²+c²-2bc•cosA=（b+c）²-3bc=18，
∴a=3

2

．

点评：本题考查等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的突破口．