Question

【题目】已知椭圆:的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于两点，设.若，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由题意可得点P的坐标为，然后求出，根据椭圆的定义可得，进而得到，于是可得椭圆的方程．（2）由题意直线的斜率不为0，设其方程为，代入椭圆方程后结合根与系数的关系得到，然后通过换元法求出的范围即可．

（1）由题意得抛物线的焦点坐标为，准线方程为．

∵，

∴点P到直线的距离为，从而点P的横坐标为，

又点P在第一象限内，

∴点P的坐标为．

∴，

∴，

∴．

∴，

∴椭圆的方程为．

（2）根据题意得直线的斜率不为0，设其方程为，

由 消去整理得，

显然．

设，则 ①

∵，即，

∴，

代入①消去得．

∵，

∴，

∴，解得．

由题意得．

令，则，

∴，

设，则在上单调递增，

∴，即，

∴．

即面积的取值范围为．