Question

已知函数f（x）=x³-2x²+1
（Ⅰ）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）曲线f（x）上是否存在一点P，使得在点P处的切线平行于直线2x+y+3=0？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=3x²-4x，由f′（x）=0得x₁=0，x₂=

4

3

当x在[-1，2]上变化时，f（x）和f′（x）的变化情况如下表

x	-1	（-1，0）	0	（0，）		（，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-2	增函数	1	减函数	-	增函数	1

由表格可知，函数f（x）在[-1，2]上的最大值为1，最小值为-2．
（II）由（I）知：f′（x）=3x²-4x，
∴f/(x)∈[-

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3

，+∞)，即曲线上的点P处的切线的斜率的取值范围是[-

4

3

，+∞)
∵直线2x+y+3=0的斜率为-2，且-2∉[-

4

3

，+∞)
∴曲线上不存在点P，使得P处的切线平行于直线2x+y+3=0．