Question

已知平面上的动点P(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁·k₂＝－.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与曲线C交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率都存在，并满足k_BM·k_BN＝－，求证：直线l过原点．

Answer 1

解：(1)由题意得·＝－(x≠±2)，
即x²＋4y²－4＝0.
所以点P的轨迹C的方程为
＋y²＝1(x≠±2)．
(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，
联立方程，
得(4k²＋1)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.
所以x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
所以y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋km(x₁＋x₂)＋m²＝.
又k_BM·k_BN＝－，即·＝－，
即x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＋4y₁y₂＝0.
代入并整理得m(m＋2k)＝0，即m＝0或m＝－2k，
当m＝0时，直线l恒过原点；
当m＝－2k时，直线l恒过点(2,0)，但不符合题意．
所以直线l恒过原点．

略