Question

1．设函数f（x）=a²x+$\frac{{c}^{2}}{x-b}$（a，b，c为常数，且a＞0，c＞0）．
（1）当a=1，b=0时，求证：|f（x）|≥2c；
（2）当b=1时，如果对任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求证：a+2c＞1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的表达式，根据基本不等式的性质证明即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）a=1，b=0时，
f（x）=x+$\frac{{c}^{2}}{x}$，x＞0时，f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{{c}^{2}}{x}}$=2c，
x＜0时，f（x）≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{{c}^{2}}{（-x）}}$=-2c，
综上：|f（x）|≥2c；
（2）a＞0，b＞0，b=1，x＞1时，x-1＞0，
∴f（x）=a²x+$\frac{{c}^{2}}{x-1}$
=a²（x-1）+$\frac{{c}^{2}}{x-1}$+a²
≥2ac+a²
=a（2c+a）＞a，
∴a+2c＞1．

点评 本题考查了基本不等式的性质，注意满足性质的条件，本题是一道中档题．