Question

已知函数f(x)=

3

sin2ωx+2cos2ωx(ω＞0)的最小正周期为π．
（I） 求ω的值；
（II）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先根据三角公式对函数进行整理，得到f（x）=2sin(2ωx+

π

6

)+1，再直接代入周期计算公式即可求ω的值；
（II）先根据自变量的取值范围，代入得到-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，再代入解析式即可求出结论．

解答：解：（I）依题意f（x）=

3

sin2ωx+2•

cos2ωx+1

2

．（2分）
=

3

sin2ωx+cos2ωx+1（3分）
=2sin(2ωx+

π

6

)+1（5分）
∵T=

2π

2ω

=π．（6分）
∴ω=1（7分）
（2）∵0≤x≤

π

2

∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

（9分）
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1．（10分）
∴0≤2sin(2ωx+

π

6

)+1≤3，（12分）
∴函数的取值范围是[0，3]（13分）

点评：本题主要考查函数周期性的应用以及三角函数的值域．在求三角函数的值域时，一定要先求自变量的取值范围，研究在对应范围上的单调性，在写结论，避免出错．