【题目】如图,在多面体中,
平面
,
,且
为等边三角形,
,
与平面
所成角的正弦值为
.
(1)若是线段
的中点,证明:
平面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)取的中点为
,连接
,可证
平面
,通过证明四边形
为平行四边形可得结论;(2)取
的中点
,连结
取
的中点为
,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系,由
与平面
所成角的正弦值为
求得
,求出平面
和平面
的一个法向量,根据向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:取的中点为
,连接
,则可证
平面
,四边形
为平行四边形,所以
,所以
平面
;
(2)解:取的中点
,连结
,则
平面
,
即是
与平面
所成角,
,设
,则有
,得
,取
的中点为
,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立如图空间直角坐标系,则
,由(1)知:
平面
,又
,取平面
的一个法向量
,又
,设平面
的一个法向量
,由
,由此得平面
的一个法向量
,面积
,所以二面角
的平面角的余弦值为
.
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【题目】如图1,在四棱锥中,底面
是正方形,
.
(1)如图2,设点为
的中点,点
为
的中点,求证:
平面
;
(2)已知网格纸上小正方形的边长为,请你在网格纸上用粗线画图1中四棱锥
的府视图(不需要标字母),并说明理由.
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【题目】已知椭圆:,点
.
(1)设是椭圆
上任意的一点,
是点
关于坐标原点的对称点,记
,求
的取值范围;
(2)已知点,
,
是椭圆
上在第一象限内的点,记
为经过原点与点
的直线,
为
截直线
所得的线段长,试将
表示成直线
的斜率
的函数.
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【题目】记表示
,
中的最大值,如
.已知函数
,
.
(1)设,求函数
在
上零点的个数;
(2)试探讨是否存在实数,使得
对
恒成立?若存在,求
的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】几何证明选讲
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
是参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;
(2)若曲线与曲线
交于
两点,求
的最大值和最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求证:PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
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【题目】已知O为原点,A,B,C为平面内的三点.求证:
(1) 若A,B,C三点共线,则存在实数α,β,且α+β=1,
(2) 若存在实数α,β,且α+β=1,使得,则A,B,C三点共线.
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【题目】某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值
(单位:元,
)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.
(1)将一星期的商品销售利润表示成
的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
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