Question

已知点P （4，4），圆C： 与椭圆E：的一个公共点为A（3，1），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线与圆C相切。
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设D为直线PF₁与圆C 的切点，在椭圆E上是否存在点Q ，使△PDQ是以PD为底的等腰三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由。

Answer 1

（1）m=1，椭圆E的方程为
（2）在椭圆上存在两个点Q，使得PDQ是以PD为底的等边三角形

解：（1）∵点A(3,1)在圆上，∴（3-m）²+1="5" 又m<3   ∴m="1" ┉┉2分
设F₁(-c,0),∵P(4,4) 直线PF₁方程为4x-(4+c)y+4c="0   " ---------3分
直线PF₁与圆C相切， c=4.――――－4分
由得椭圆E的方程为――――――――6分
（2）直线PF₁方程为4x-8y+16=0，即x-2y+4=0
由得切点D（0，2）―――――7分
又P(4,4), 线段PD中点为M（2，3）―――――8分
又椭圆右焦点为F₂(4,0), ―――10分
,线段PD垂直平分线的斜率为－2 ―――――――11分
，线段PD的垂直平分线与椭圆有两个交点――――13分
在椭圆上存在两个点Q，使得PDQ是以PD为底的等边三角形―――14分
（或与过点M的椭圆右侧切线斜率比较说明；或用判别式）