Question

【题目】已知数（其中）.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）求函数的反函数

（3）若两个函数与在区间上恒满足，则函数与在闭区间上是分离的．试判断的反函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）求出函数的定义域，然后利用定义可判断出函数的奇偶性；

（2）由（1）得，将两个等式化为指数式，可解出，即可得出函数的解析式，并求出函数的值域，作为函数的定义域；

（3）根据函数与在闭区间上分离得出不等式在区间上恒成立，令，得出，利用函数在区间上的最小值可解出实数的取值范围.

（1）对任意的，，则对任意的恒成立，

则函数的定义域为，关于原点对称，

又，

，，

因此，函数为奇函数；

（2）设，当时，，此时，

当时，，则，

所以，函数的值域为.

由（1）可得，

将上述两个等式化为指数式得，解得.

因此，；

（3）假设函数与在闭区间上分离，则，

即，整理得，即在区间上恒成立，

令，则，设，

，则函数在区间上单调递增，

所以，函数在区间上的最小值为，由题意得，

即，，解得，

因此，实数的取值范围是.