[题目]如图.三棱柱中.侧面侧面....为棱的中点.在棱上.面.(1)求证:为的中点,(2)求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，三棱柱中，侧面侧面，，，，为棱的中点，在棱上，面.

（1）求证：为的中点；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析(2)

【解析】

（1）利用面面垂直的性质得证平面，这样可以为轴建立空间直角坐标系，然后写出各点的坐标，利用垂直关系计算出D点坐标即证；

（2）在（1）基础上求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角的余弦值，即得二面角的余弦值．

（1）连接，因为为正三角形，为棱的中点，

所以，从而，又面侧面，

面侧面，面，

所以面.

以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

不妨设，则，，，

设，则，，

因为平面，平面，所以，

所以，解得，即，所以为的中点.

（2），，，

设平面的法向量为，则，即，解得，

令，得，

显然平面的一个法向量为，

所以，

所以二面角的余弦值为.

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详解：（Ⅰ），

，

由得，

且当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

∴当时，有极大值，且，无极小值．

（Ⅱ）函数的两个零点为，不妨设，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，则

，

在上单调递减，

故，

，

即，

又，

．

点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．

【题型】解答题
【结束】
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