Question

20．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，没人随机写下一个都小于1的正实数对（x，y）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值．假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈$\frac{47}{15}$（用分数表示）．

Answer 1

分析 由试验结果知120对0～1之间的均匀随机数x，y，满足$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{0≤y＜1}\end{array}\right.$，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x²+y²＜1且$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{0≤y＜1}\end{array}\right.$，x+y＞1，面积为$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．

解答 解：由题意，120对都小于l的正实数对（x，y），满足$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{0≤y＜1}\end{array}\right.$，面积为1，
两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x²+y²＜1且$\left\{\begin{array}{l}{0≤x＜1}\\{0≤y＜1}\end{array}\right.$，x+y＞1，面积为$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
因为统计两数能与l构成钝角三角形三边的数对（x，y） 的个数m=34，
所以$\frac{34}{120}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，所以π=$\frac{94}{30}$=$\frac{47}{15}$．
故答案为：$\frac{47}{15}$．

点评 本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是综合题．