Question

18．已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R），
（Ⅰ）若a=-2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，代入切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；
（Ⅲ）问题转化为f（x）_max＜0，结合函数的单调性，求出函数的最大值，从而求出a的范围．

解答 解：（ I）由已知：a=2时，f（x）=lnx-2x，（x＞0），
∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2，（x＞0）$，
f′（1）=3所以斜率k=3，f（1）=2，
又切点为（1，2），所以切线方程为y-2=3（x-1），
即3x-y-1=0；                                 …（2分）
（ II）$f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}，（x＞0）$
①当a≤0时，由于x＞0，得：1-ax＞0，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…（4分）
②当a＞0时，f′（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$，
在区间$（0，\frac{1}{a}）$上，f′（x）＞0，
在区间$（\frac{1}{a}，+∞）$上，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{1}{a}）$，
单调递减区间为$（\frac{1}{a}，+∞）$；                     …（8分）
（ III）由已知，转化为f（x）_max＜0，
由（ II）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，值域为R，
不符合题意，
当a＞0时，f（x）在$（0，\frac{1}{a}）$单调递增，f（x）在$（\frac{1}{a}，+∞）$单调递减，
所以f（x）的极大值即为最大值，$f（\frac{1}{a}）=ln（\frac{1}{a}）-1=-lna-1$，
所以-lna-1＜0，解得：$a＞\frac{1}{e}$．…（12分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．