Question

6．已知函数f（x）=xlnx-3x+8．
（1）求函数y=f（x）在[e，e³]（e是自然对数的底数）的值域；
（2）设0＜a＜b，求证：$0＜2f（a）+f（b）-3f（{\frac{2a+b}{3}}）＜（{b-a}）ln3$．

Answer 1

分析 （1）法一：求出f（x）的导数，计算f（e），f（e²），f（e³）的值，从而求出函数的值域；法二：求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；
（2）令g（b）=2f（a）+f（b）-3f（$\frac{2a+b}{3}$），通过讨论函数的单调性，证明即可．

解答 解：（1）法一：由题易知f′（x）=lnx-2，由f′（x）=0可得x=e²．
因为f（e）=8-2e，f（e²）=8-e²，f（e³）=8，
故函数y=f（x）在[e，e³]的值域为[8-e²，8]；
法二：由题易知f′（x）=lnx-2，由f′（x）＞0可得x＞e²，
由f′（x）＜0可得0＜x＜e²，
故函数y=f（x）在（0，e²）递减，在（e²，+∞）递增，
从而y=f（x）在[e，e²）递减，在[e²，e³]递增，
因为f（e）=8-2e，f（e²）=8-e²，f（e³）=8，
故函数y=f（x）在[e，e³]的值域为[8-e²，8]；
（2）令$g（b）=2f（a）+f（b）-3f（{\frac{2a+b}{3}}）$，
则$g'（b）=f'（b）-f'（{\frac{2a+b}{3}}）=ln\frac{3b}{2a+b}＞0$，
故g（b）在（a，+∞）递增，得g（b）＞g（a）=0，
令h（b）=g（b）-（b-a）ln3，
则h'（b）=g'（b）-ln3=$ln\frac{b}{2a+b}＜0$，
故函数h（b）在（a，+∞）递减，
得h（b）＜h（a）=0，
故g（b）＜（b-a）ln3，
综上可知0＜g（b）＜（b-a）ln3，
即$0＜2f（a）+f（b）-3f（{\frac{2a+b}{3}}）＜（{b-a}）ln3$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．