Question

11．已知函数f（x）=e^x[lnx+（x-m）²]，若对于?x∈（0，+∞），f′（x）-f（x）＞0成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\sqrt{2}}）$
• B． $（{-∞，2\sqrt{2}}）$
• C． $（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$
• D． $（{-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 问题转化为m＜$\frac{1}{2x}$+x在x∈（0，+∞）恒成立，根据基本不等式的性质求出$\frac{1}{2x}$+x在x∈（0，+∞）上的最小值，从而求出m的范围即可．

解答 解：∵f′（x）-f（x）=e^x[$\frac{1}{x}$+2（x-m）]＞0，
∴m＜$\frac{1}{2x}$+x在x∈（0，+∞）恒成立，
而$\frac{1}{2x}$+x≥2$\sqrt{\frac{1}{2x}•x}$=$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时“=”成立，
故m＜$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用以及级别不等式的性质，是一道基础题．