Question

16．已知函数f（x）=1n（x+1）+ax²-x（a∈R）．
（1）当$a=\frac{1}{4}$时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意实数b∈（1，2），当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，求出f（b）的值，解关于a的不等式，取并集即可．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{4}$时，$f（x）=ln（x+1）+\frac{1}{4}{x^2}-x$，
则$f'（x）=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}x-1=\frac{x（x-1）}{2（x+1）}\;\;（x＞-1）$，
令f′（x）＞0，得-1＜x＜0或x＞1；
令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-1，0）和（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
极大值0，极小值$ln2-\frac{3}{4}$…（5分）
（2）由题意$f'（x）=\frac{x[2ax-（1-2a）]}{（x+1）}\;\;（x＞-1）$，
（i）当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）…（7分）
（ii）当a＞0时，令f'（x）=0，有x₁=0，${x_2}=\frac{1}{2a}-1$，
①当$a=\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，显然符合题意．…（8分）
②当$\frac{1}{2a}-1＞0$即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（-1，0）和$（\frac{1}{2a}-1，+∞）$上单调递增，
在$（0，\frac{1}{2a}-1）$上单调递减，f（x）在x=0处取得极大值，且f（0）=0，
要使对任意实数b∈（1，2），当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），
只需f（1）≥0，解得a≥1-ln2，又$0＜a＜\frac{1}{2}$，
所以此时实数a的取值范围是$1-ln2≤a＜\frac{1}{2}$…（11分）
③当$\frac{1}{2a}-1＜0$即$a＞\frac{1}{2}$时，函数f（x）在$（-1，\frac{1}{2a}-1）$和（0，+∞）上单调递增，
在$（\frac{1}{2a}-1，0）$上单调递减，要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，
函数f（x）的最大值为f（b），需$f（\frac{1}{2a}-1）≤f（1）$，
代入化简得$ln2a+\frac{1}{4a}+ln2-1≥0$，
令$g（a）=ln2a+\frac{1}{4a}+ln2-1\;\;（a＞\frac{1}{2}）$，因为$g'（a）=\frac{1}{a}（1-\frac{1}{4a}）＞0$恒成立，
故恒有$g（a）＞g（\frac{1}{2}）=ln2-\frac{1}{2}＞0$，
所以$a＞\frac{1}{2}$时，$ln2a+\frac{1}{4a}+ln2-1≥0$式恒成立；
∴实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．…（14分）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．