Question

6．已知定义在实数集上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并加以证明；
（3）当λ取何值时，方程f（x）=λ在上（-1，1）有实数解？

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
（2）根据函数单调性的定义，利用定义法进行证明．
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系求出函数在（-1，1）上的值域即可得到结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，
当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
则f（-x）=$\frac{{2}^{-x}}{{4}^{-x}+1}$=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$=-f（x），
则f（x）=-$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$．x∈（-1，0），
故函数f（x）在（-1，1）上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，}&{x∈（0，1）}\\{0，}&{x=0}\\{-\frac{{2}^{x}}{1+{4}^{x}}，}&{x∈（-1，0）}\end{array}\right.$；
（2）设0＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{1+{4}^{{x}_{1}}}$-$\frac{{2}^{{x}_{2}}}{1+{4}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（1+{4}^{{x}_{1}}）（1+{4}^{{x}_{2}}）}$，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴${2}^{{x}_{2}}$＞2${\;}^{{x}_{1}}$，${2}^{{x}_{2}}$-2${\;}^{{x}_{1}}$＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
即函数f（x）在（0，1）上的单调递减；
（3）∵f（x）在（0，1）上的单调递减，
∴当0＜x＜1时，f（1）＜f（x）＜f（0），
即$\frac{2}{5}$＜f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∵f（x）是奇函数，
∴当-1＜x＜0时，-$\frac{1}{2}$＜f（x）＜-$\frac{2}{5}$，
∵f（0）=0，
∴在（-1，1）上函数f（x）的取值范围是（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$）∪{0}，
则若方程f（x）=λ在上（-1，1）有实数解，
则λ∈（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{2}{5}$）∪{0}．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数单调性和值域的判断和应用，利用定义法以及函数单调性和值域之间的关系是解决本题的关键．